平均値の差の検定～サンプルサイズが大きい場合

統計の講師をしていて、なるほど！と思う質問を受けることがあります。
せっかくなので、その中からピックアップして紹介できればと思います。

【質問】
下記の問題は、どう解けばいいか？

20代（300人）の購入額の平均：15000円, 標準偏差5000円
30代（400人）の購入額の平均：12000円, 標準偏差4000円

【回答】
この手の問題（平均値の差の検定）の場合、よくt検定を使って解きます。
サンプルサイズが小さい場合（通常だと10とか20くらいのサンプルサイズ）は、t検定を使うのですが、サンプルサイズが大きい場合（目安として100程度）は、z検定を使うことになります。

z検定ってあまり聞きなれない言葉かもしれませんが、要は標準正規分布に持ち込んで検定をすることができます。

帰無仮説H0：差がない
対立仮設H1：差がある



今回の問題だと、検定統計量zは、8.54となります。
α=0.05で両側検定をするので、
z(α/2)=z(0.025)=1.96

今回、8.54は、1.96に比べて、かなり大きい数字となっています。

つまり、違いがないと仮定した場合（帰無仮説H0）、そのような値が出る確率はかなり低く、対立仮設H1を採択します。
つまり、平均値の差は違いがあると考えた方が良いとなります。