市場反応モデル

市場反応モデルについて、教科書などをみると、唐突に下記の式が出てきます。

log(y) = b0 + b1*log(x1) + b2*x2 + ε
y: 販売点数
x1: 売価
x2: 陳列量（もしくは、陳列の有無）

この式の意味について調べました。

① 販売点数と売価について
目的変数log、説明変数logの関係になっています。
これは、価格弾力性を一定という条件があるのですが、この部分については、必ずしもlog-logの関係じゃなくてもOKです。

log(y) = b0 + b1*(x1)なら価格弾力性はb1*x1（すなわち説明変数の値で弾力性が変化する）
y = b0 + b1*log(x1) なら価格弾力性はb1/y（すなわち目的変数の値で弾力性が変化する）
y = b0 + b1*(x1) なら価格弾力性はb1*x/y（すなわち説明変数と目的変数の比で弾力性が変化する）
log(y) = b0 + b1*log(x1)なら価格弾力性はb1（すなわち説明変数が変化しても目的変数に与える影響は一定）

② 陳列量について
陳列実施の有無のダミー変数の場合、log(0) → －∞になるので、logは取れません。

陳列の有無ではなく、陳列量にする場合、
X2+1の対数を説明変数にすれば形式的には、logで表現できるます。

x1: 売価をいったん忘れると、

販売個数は必ず0以上なので、発生回数のモデルとして、ポアソン回帰モデルで表現できます。
ポアソン回帰モデルでは、平均（=分散）パラメータを構造化します。

Y ～Poisson(μ）

E(Y) = exp(b0 + b1*x1 + ...)
expなので、E(Y)は必ず0超

～まとめ～
log(y) = b0 + b1*log(x1) + b2*x2 + ε
y: 販売点数
x1: 売価
x2: 陳列量（もしくは、陳列の有無）

売価は、価格弾力性をb1とし、log-logの関係になっている。
それ以外の説明変数は、ポアソン回帰モデルで表現しているとすると理解しやすい。