対応のある分散分析とMauchlyの球面性testについて

統計の講師をしていて、なるほど！と思う質問を受けることがあります。
せっかくなので、その中からピックアップして紹介できればと思います。

【質問】
Rで対応のある分散分析のやり方を教えて欲しい。
また、Mauchlyの球面性testについても教えて欲しい。

【回答】
通常、分散分析と言えば、対応なしの分散分析が一般的ですが、同じ郡について調査をする場合があり、その場合は、対応ありの分散分析となります。

# サンプルデータの準備
a1<- c(63,58,64,58,77,66,52,64,49,66)
a2<- c(64,64,68,61,56,71,64,65,85,75)
a3<- c(59,87,79,71,65,65,65,71,74,58)
a4<- c(83,79,65,67,80,72,80,75,72,84)
　
bunsan1<-data.frame(A=factor(c(rep("a1",10),
rep("a2",10),rep("a3",10),rep("a4",10))),y=c(a1,a2,a3,a4))
bunsan2<-data.frame(A= factor(c(rep("a1",10),
rep("a2",10), rep("a3",10), rep("a4",10))),No= factor(rep(1:10, 4)),y=c(a1,a2,a3,a4))
　
# 作図
boxplot(y~A,data=bunsan1,col="lightblue")
　
# 対応なしの分散分析
model1 <- aov(y~A, data=bunsan1)
summary(model1)
　
# 対応ありの分散分析
model2 <- (aov(y ~ A+No, bunsan2))
summary(model2)
　
# Mauchly’s sphericity test
# https://biostats.w.uib.no/test-for-sphericity-mauchly-test/
dat <- xtabs(y~No+A, bunsan2)
mauchly.test(lm(dat ~ 1), X = ~ 1)
　
# p-value = 0.694 なので分散に差があるとは言えない