【時系列】広告効果をモデリングする ～その7 周期性をモデル化～

ARIMAモデルとかだと、元系列をトレンド＋季節成分＋不規則変動に分けたりします。
状態空間モデルも同じように周期性（季節成分）をモデル化することができます。

ポイントは、季節成分の部分。
x_seasonal[i] ~ normal(-sum(x_seasonal[(i-11):(i-1)]), sd_sea);

例えば、月別データ（周期が12か月）の場合は、
a1 + a2 + ... + a12 = ε, ε～N(0, σ2)
と周期成分の合計が0になるように書くことができ、
a1 = -Σ(a2 + ... + a12)
となっています。

■ rのコード

AirPassengers <- c(112, 118, 132, 129, 121, 135, 148, 148, 136, 119, 104, 118,
           115, 126, 141, 135, 125, 149, 170, 170, 158, 133, 114, 140,
           145, 150, 178, 163, 172, 178, 199, 199, 184, 162, 146, 166,
           171, 180, 193, 181, 183, 218, 230, 242, 209, 191, 172, 194,
           196, 196, 236, 235, 229, 243, 264, 272, 237, 211, 180, 201,
           204, 188, 235, 227, 234, 264, 302, 293, 259, 229, 203, 229,
           242, 233, 267, 269, 270, 315, 364, 347, 312, 274, 237, 278,
           284, 277, 317, 313, 318, 374, 413, 405, 355, 306, 271, 306,
           315, 301, 356, 348, 355, 422, 465, 467, 404, 347, 305, 336,
           340, 318, 362, 348, 363, 435, 491, 505, 404, 359, 310, 337,
           360, 342, 406, 396, 420, 472, 548, 559, 463, 407, 362, 405,
           417, 391, 419, 461, 472, 535, 622, 606, 508, 461, 390, 432)
head(AirPassengers, 10)
ts.plot(log(AirPassengers), type="o", ylab="AirPassengers")

# データの準備
data_list <- list(
  y = log(AirPassengers), 
  T = length(AirPassengers)
)

# モデルの推定
seasonal_model <- stan(
  file = "D:\\Projects\\LM\\arima\\seasonal_model_1.stan",
  data = data_list,
  chains = 3,
  seed = 1234
)

■ stanファイル

data {
  int T;         // データ取得期間の長さ
  vector[T] y;   // 観測値
}

parameters {
  vector[T] mu;          // 水準成分の推定値（過程誤差）
  vector[T] x_seasonal;  // 季節成分の推定値（過程誤差）
  real sd_mu;   // 水準成分の標準偏差（過程誤差）
  real sd_sea;  // 季節成分の標準偏差（過程誤差）
  real sd_v;    // 観測誤差の標準偏差
}

transformed parameters {
  vector[T] alpha;
  for (i in 1:T) {
    alpha[i] = mu[i] + x_seasonal[i];
  }
}

model {
  // 水準成分
  for(i in 3:T) {
    mu[i] ~ normal(2*mu[i-1] - mu[i-2], sd_mu);
  }

  // 季節成分
  for(i in 12:T) {
    x_seasonal[i] ~ normal(-sum(x_seasonal[(i-11):(i-1)]), sd_sea);
  }  

  // 観測モデル
  for(i in 1:T) {
    y[i] ~ normal(alpha[i], sd_v);
  }
}