コーシー分布：なぜ平均を持たないのか

コーシー分布は、正規分布と同じく左右対称な分布です。
正規分布に比べて、裾が重い分布となっています。

分布の形を見るだけだと、平均は明らかに 0 な気がするのですが
実はそうでもないようです。

積分を使って計算すると

1/2 log(1 + b^2) - 1/2 log(1 + a^2)
b -> ∞, a -> ∞ としたものなので、
∞ - ∞になります。

∞ - ∞ ≠ 0 なので、平均が存在しないって話です。

平均が存在しないってことは、分散も存在しません。
そして、大数の法則や中心極限定理も成立しないといった奇妙な分布になります。

確率変数がコーシー分布に従う時、その標本分布も再びコーシー布に従い
測定を繰り返しても、標本平均値の分散は無限大となります。

なんだか正規分布に比べて恐ろしい分布ですね。。。