パスカルの三角形

Fantasic Chanceの確率を考えていますが、良いアイデアを発見しました！
(・∀・)！

今、話を簡単にするために、問題を下記のように定義します。

今、ボールがn個(3個以上)あります。
ボールは(A, B, C)のどれかに入ります。
この時、少なくとも(A, B, C)の各1個にボールが入る組み合わせの数は？

を考えます。

n=3の時
これは、
ボール1 ボール2 ボール3
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
の合計6通りあります。

n=4の時、同様に計算すると、36の組み合わせが発生します。（笑

いちいち組み合わせを考えていては、間違いなく見落とします。
そこで、発見した方法とは、、、

パスカルの三角形というものがあります。
これは、(a+b)のn乗を考えるもの。

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

この応用でパスカルの三角錐へと発展させます。
つまり、(a+b+c)のn乗を考えるわけです。
ttp://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/report/katati/katati_1.htm
↑
ここを参照。

ここで、少なくとも(A, B, C)の各1個にボールが入る組み合わせの数は
実は、三角錐の内部に入っている数のことになります。

n=3の場合は、6。
n=4の場合は、12+12+12=36。
n=5の場合は、20+30+30+20+30+20=150。
と計算できます。

また、(A, B, C, D, E)の各1個にボールが入る組み合わせの数は
(a+b+c+d+e)のn乗(nは5以上)の計算で導かれるのですが、

2乗の場合は、パスカルの三角形
3乗の場合は、パスカルの三角錐

4乗以降は、四次元の世界となり、残念ながら、図示することはできなくなります。。。

何はともあれ、確変中のFantasic Chanceの成功確率は、
これで【少しは】簡単に計算することができます。

またまた、続く。。。