事前分布自体が未知の場合の Empirical Bayes Approach

事前分布自体が未知の場合の Empirical Bayes Approach

前回までだと、二項分布にしろ多項分布にしろ、 P の事前分布のパラメータは未知であるが、事前分布は、既知であると考えてきた。
では、事前分布が未知であるような場合、Empirical Bayes Approachは、どうなるであろうか？
↓
An Empirical Bayes Approach
事前分布自体が未知の場合、P をどのように推定するかを考える。

Binomial Kernelの場合、

ここで、r は、試行の数を表す固定された正の整数とし、また、X は成功の数とする。
X の事前分布は未知とする。

となる。

基本関係式は、

今、 を推定する。

を考え、これは、n → ∞ で確率 1 で となる。

今、r 回の試行中、初めの (r - 1)回の試行の中で、成功の数を表す確率変数列 を考える。

を考えると、これは、n → ∞ で確率 1 で となる。

ゆえに、

とおけば、これは、n → ∞ で確率 1 で

の推定値として、平均自乗誤差を考えるときに、シミュレーションで求めることができる値として、 を取ることができる。

そして、これは、n → ∞ に関して

となる。

※ ここで、 に関して、

とし、また、 に関して、

とした。