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多項分布とDirichlet分布 [ベイズ統計量におけるパラメーターの推定]

多項分布とDirichlet分布

多項分布とDirichlet分布の関係は、二項分布とベータ分布の関係に似ている。
二項分布を多次元に拡張した場合、次元を n 次元にした場合を考える。

前回同様に、パラメータが既知の場合のベイズ統計量と、パラメータが未知の場合のベイズ統計量を計算したいと思うが、まずは、分布の復習から。

★ 多項分布とは
1回の回の試行で互いに排反な事象の起こる確率がそれぞれ

とし、この試行を N 回独立に繰り返すときの起こる確率をそれぞれとする。
また、としたとき、その確率密度分布は、

となって、平均、分散、共分散は、

となる。

★ Dirichlet分布とは
ベータ分布の多次元化としてして、Dirichlet分布を考える。
をパラメーターを持つ確率変数とすると、その確率密度関数は、

となる。ここで は、ガンマ関数を表す。平均、分散、共分散は、


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