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パラメータが未知の場合のベイズ統計量 [ベイズ統計量におけるパラメーターの推定]

パラメータが未知の場合のベイズ統計量は、

と置くことができる。

問題は、α, βをどのようにして推定するか?

新たに、

をベルヌーイ分布からの独立な確率変数を抽出する。
はベータ分布とする。

推定する方法は色々あるだろうが、モーメント法による推定量を考える。

は無作為標本で、k個の未知な母数

を持つ分布に従うものとする。


は、n が大きくなると

に近づく。

のモーメント法による推定量は、

より

つまり、

(1次のモーメント)

これで、2次のモーメントを求めることができれば、連立方程式を解くことにより、

を求めることができるのだが、の1次のモーメントも2次のモーメントも

(1次のモーメント)

(2次のモーメント)

となって、一般に、の n次のモーメントも

となるので、

をモーメント法では、同時に推定することはできない。

例えば、ここで

という条件をいれると、

α, βが未知の場合のベイズ統計量は、

と求めることができる。


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