パラメータが未知の場合のベイズ統計量 [ベイズ統計量におけるパラメーターの推定]
パラメータが未知の場合のベイズ統計量は、
と置くことができる。
問題は、α, βをどのようにして推定するか?
新たに、
をベルヌーイ分布からの独立な確率変数を抽出する。
各はベータ分布とする。
推定する方法は色々あるだろうが、モーメント法による推定量を考える。
は無作為標本で、k個の未知な母数
を持つ分布に従うものとする。
は、n が大きくなると
に近づく。
のモーメント法による推定量は、
より
つまり、
(1次のモーメント)
これで、2次のモーメントを求めることができれば、連立方程式を解くことにより、
を求めることができるのだが、の1次のモーメントも2次のモーメントも
(1次のモーメント)
(2次のモーメント)
となって、一般に、の n次のモーメントも
となるので、
をモーメント法では、同時に推定することはできない。
例えば、ここで
という条件をいれると、
α, βが未知の場合のベイズ統計量は、
と求めることができる。