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いくつかの分布 その1 [ベイズ統計量におけるパラメーターの推定]

いくつかの分布 その1

ベルヌーイ分布
離散型確率変数Xが1と0の2つの値しかとらない分布を考える。
成功を X = 1、失敗を X = 0と表し、成功の確率を p とする。
そのとき、X の分布は、次式によって表される。

重要な仮定は…
毎回の確率事象が同一で、かつ独立であること
コイン投げで考えると、以前に表・裏のどちらがどのように出たかに拘らず、毎回の表・裏の出る確率が同じ決まった値になっていることである。

二項分布
n 回のベルヌーイ試行が、成功の確率pが変化することなく、互いに独立に行われるとする。
個々の結果が生起する確率は、成功が x 回、失敗が ( n - x) 回であれば、

で表される。今、成功の回数を確率変数 X としてその分布を求めてみる。
成功の回数が x 回の標本点は

とおりあるので、x の分布は、

と表現できる。このとき、平均と分散は、

ベータ分布
有限区間に集中している連続分布は、基準化することによって単位区間 ( 0, 1 ) 上の分布として扱うことができる。
パラメーターα, β(α > 0, β > 0)を持つ確率変数とすると、その確率密度関数は、

となる。ここで、

は、ガンマ関数を表す。

平均と分散は、


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